Naar alle waarschijnlijkheid – Toeval in de wetenschap en filosofie (Klaas Landsman)

Over de auteur

Professor dr. Klaas Landsman is een Nederlands wiskundige en autobiograaf. Landsman is hoogleraar analyse aan de Radboud Universiteit Nijmegen. Zijn onderzoeksgebieden zijn de mathematische fysica en in mindere mate de geschiedenis en filosofie van de natuurkunde. In dit boek schrijft Landsman over de rol van toeval in wetenschap en filosofie. Hierna heb ik een samenvatting van interessante tekstgedeelten en beweringen uit zijn boek weergegeven.

Kosmologie en relativiteit

Met deze wiskundige formulering van zijn Algemene Relativiteitstheorie bracht Einstein zijn oeuvre in de natuurkunde tot een hoogtepunt, aldus Landman. De Algemene Relativiteitstheorie was een vervolg op de Speciale Relativiteitstheorie uit 1905, waarin Einstein de elektrodynamica had verbonden met het relativiteitsprincipe: het principe dat de natuurwetten in een met constante snelheid bewegend systeem hetzelfde is als in rust: dat ervaar je ook wanneer je op een schip vaart: je bent in rust terwijl je toch afstand aflegt. Het probleem was dat de elektrodynamica vereist dat de lichtsnelheid in een vacuüm constant is en dus onafhankelijk is van de snelheid van de lichtbron of waarnemer. Normaliter tel je snelheden bij elkaar op, bijvoorbeeld wanneer je uit een trein springt dan is de snelheid het totaal van de treinsnelheid en de snelheid van je sprong. Einstein loste dit op door een nieuwe theorie van tijd en ruimte waaruit blijkt dat het begrip ‘gelijktijdigheid’ relatief is, afhankelijk van de waarnemer. Het optellen van snelheden kan alleen bij snelheden die veel lager zijn dan de lichtsnelheid. De vertraging van een klok bij een bewegende waarnemer ten opzichte van een stilstaande waarnemer is een gevolg van de Speciale Relativiteitstheorie. Dat geldt ook voor de formule E=mc². Het nieuwe van de theorie was niet de relativiteit van de beweging, maar het vinden van de correcte combinatie van het relativiteitsprincipe met de elektrodynamica. Einstein begon zijn Algemene Relativiteitstheorie als een poging om de Speciale Relativiteitstheorie uit te breiden van (lineaire) bewegingen met constante snelheid tot willekeurige en dus mogelijk ook versnelde bewegingen: iedere gekromde beweging is bijvoorbeeld versneld (denk aan een kogelslingeraar). Einsteins hoop was daarbij dat niet alleen bewegingen met constante snelheid, maar alle bewegingen relatief zouden blijken, zoals vóór hem ook Huygens en Leibniz al hadden voorgesteld (contra Newton). Anders dan zijn twee voorgangers zag Einstein echter in dat een dergelijke uitbreiding alleen mogelijk was door de zwaartekracht erbij te betrekken. Zijn equivalentieprincipe uit 1907 houdt namelijk in dat een vrij vallende (en dus ten opzichte van iemand in rust versnellende) waarnemer juist géén zwaartekracht voelt (hetzelfde geldt voor een astronaut die om de aarde cirkelt), en omgekeerd de persoon in rust ziet versnellen in de richting tegen de zwaartekracht in (zoals je ook naar achteren in je stoel wordt ge- drukt als je in je auto gas geeft en daarmee voorwaarts versnelt). Einstein concludeerde daaruit dat alle versnelde bewegingen ook kunnen worden opgevat als rusttoestanden met zwaartekracht. De vrije valbeweging hangt alleen af van de aantrekkende massa (zoals de aarde voor een parachutist en de zon voor de aarde) en niet van de aangetrokken massa. Het vallende object kan zich beschouwen als zijnde in rust of in beweging met constante snelheid. De massa van het object in de gedachte als weerstand tegen een verandering speelt geen rol. Het tweede geniale inzicht dat Einstein uiteindelijk tot deze theorie bracht, was dat het equivalentieprincipe zelf volgde door zowel traagheid als zwaartekracht te relateren aan de meetkundige structuur van de ruimte en tijd (in de bovenstaande formule uit 1915 gegeven door de uitdrukking G_im waarbij G staat voor geometrie). Deze structuur wordt aan de ene kant bepaald door de aanwezige materie in het heelal (in de formule gegeven door de uitdrukking tussen haakjes in het rechterlid), terwijl de meetkunde van ruimte en tijd diezelfde materie aan de andere kant een soort voorkeurstrajecten (geodeten oftewel kosmische snelwegen) aanbiedt waarlangs ze beweegt. De vrije val van een parachutist op aarde, de banen van satellieten om de aarde en de planeetbanen om de zon zijn daar voorbeelden van. Einstein wist met deze theorie de anomale precessie van het perihelion van Mercurius te verklaren. Uit waarnemingen bleek deze anomalie circa 40-45 boogseconden te zijn. Op basis van de Algemene Relativiteitstheorie berekende Einstein 43 boogseconden. Een andere voorspelling van de Algemene Relativiteitstheorie ging over de nauwelijks meetbare afbuiging van licht dat langs de zon gaat. Bij een zonsverduistering in 1919 kon dit effect geverifieerd worden.

Oerknal

Einstein ontdekte dat zijn vergelijkingen alleen een statisch (ofwel onveranderlijk) heelal opleverden als hij er een ‘kosmologische constante aan toevoegde om het te stabiliseren. Daarmee miste Einstein de voorspelling van de expansie van het heelal (en, terug, rekenend in de tijd, van de oerknal), die zijn oorspronkelijke vergelijkingen bijna van het papier schreeuwden (hij zou dit later als de grootste blunder van zijn leven zien). Zowel Einstein als astronomen die waarnamen dat het heelal uitdijde, hadden grote moeite hiermee. Zelfs toen Edwin Hubble in 1929 dankzij nog preciezere waarnemingen onomstotelijk vaststelde dat ver weg gelegen melkwegstelsels zich van ons vandaag bewegen, en ze dat bovendien doen op de manier die de Algemene Relativiteitstheorie voorspelt (namelijk des te sneller naarmate ze verder weg liggen, met een lineaire relatie tussen de snelheid en de afstand), bleven de meningen verdeeld: het zou namelijk betekenen dat de expansie van het heelal ooit een begin had gehad. Met behulp van de kernfysica kwam er inzicht in het proces van kernfusie en de schijnbaar onuitputtelijke hoeveelheid stralingsenergie. Bij kernfusie is de totale masse van de waterstofkernen groter dan de massa van het eindproduct (helium-4). Het massaverschil wordt uitgezonden in de vorm van straling. In het oerknalscenario ontstaan atoomkernen en de daarbij behorende chemische elementen uit het periodiek systeem uit een soep van neutronen. Vrijwel al het waterstof en helium in het huidige heelal is in deze oersoep geproduceerd. De sprong naar hogere elementen kon nog niet verklaard worden; pas later werd ingezien dat zwaardere elementen in sterren worden aangemaakt. Als gevolg van de oerknal kon voorspeld worden dat er een kosmische achtergrondstraling moet zijn waarvan de temperatuur later werd vastgesteld op 3K op basis van de radio astronomische waarneming van de achtergrondstraling in 1965. Toen was duidelijk dat het heelal ontstaan is in een oerknal. Naast de kosmologische voorspelling en waarneming kan de oerknal aan de hand van het standaarddeeltjes model inzichtelijk worden gemaakt.

Elementaire deeltjes

Het standaardmodel verklaart alle natuurkundige verschijnselen – met uitzondering van de zwaartekracht – vanuit de kwantumtheorie. Een indrukwekkende combinatie van experiment en theorie heeft tot het bovenstaande plaatje geleid.

Er blijken drie zogenaamde ‘families’ van elementaire deeltjes te zijn. Dit is de familie die bestaat uit de deeltjes genaamd up-quark (u), down-quark (d), elektron (e) en neutrino (v), en tevens alle ‘bosons’. Het bekendste deeltje is het elektron, met elektrische lading -1. De twee quarks, met als elektrische ladingen +2/3 voor u en -1/3 voor d, komen niet vrij voor. Ze vormen protonen (p = uud, met lading +1) en neutronen (n= udd, met lading 0), die op hun beurt weer samen atoomkernen vormen. Een atoomkern met lading +N vormt ten slotte met N elektronen een elektrisch neutraal atoom.

• De quarks in een proton of neutron worden bij elkaar gehouden door de zogenaamde sterke kernkracht , die wordt verzorgd door van zogenaamde de gluonen rechtsboven in het plaatje; deze gluonen ‘lijmen’ de quarks als het ware aan elkaar. Quarks komen niet vrij in de natuur voor (dit heet quark confinement), maar alleen in bepaalde combinaties, zoals protonen en neutronen (er zijn ook deeltjes die uit twee quarks bestaan). Ook deze worden in atoomkernen uiteindelijk door de sterke kernkracht bij elkaar gehouden.
• Het Standaardmodel omvat nog een tweede kracht die in atoomkernen een rol speelt, genaamd de zwakke kernkracht, deze is niet alleen, zoals de naam ook suggereert, veel zwakker dan haar sterke broeder, maar zelfs nog zwakker dan de elektrische kracht. De zwakke kernkracht wordt uitgeoefend door het uitwisselen van de deeltjes Z⁰, W⁺ en W^–, die in 1983 OP CERN werden ontdekt maar dus al eerder waren voorspeld (de indices slaan op de elektrische ladingen van deze deeltjes: Zº is elektrisch neutraal, terwijl W⁺ en W^– respectievelijk lading +1 en -1 hebben). De zwakke kernkracht werkt zowel op de quarks als op het elektron en het (elektron-)neutrino. Deze kracht is bijvoorbeeld verantwoordelijk voor radioactieve verschijnselen als β-verval (waarbij een proton in een neutron wordt omgezet of andersom, en het atoom dus chemisch verandert) en is daarmee onontbeerlijk voor de energieproductie in sterren.
• Atomen, ofwel kernen met elektronen zodat het geheel elektrisch neutraal is, worden bijeengehouden door de elektrische kracht. Ook deze heeft een drager, namelijk het foton: licht bestaat uit ontelbare hoeveelheden fotonen. Atomen vormen weer moleculen dankzij een kwantummechanisch effect, namelijk het bestaan van elektronschillen, die uiteindelijk de chemische binding tussen atomen veroorzaken.
• Ten slotte bevat het Standaardmodel het higgsdeeltje. Dit deeltje kwam puur voort uit de theorie (tot er gericht naar werd gezocht was er geen enkele experimentele aanwijzing voor), omdat halverwege de rit bleek dat de al eerder genoemde stringente beperkingen die de kwantumtheorie als een soort regisseur van het Standaardmodel aan de deeltjes en hun interacties oplegt het higgsdeeltje op wiskundige gronden noodzakelijk maken. Ruw gezegd voorziet het higgsdeeltje alle andere deeltjes van het Standaardmodel van hun massa (als ze die hebben).
• Als klap op de vuurpijl hebben de beide quarks, het elektron en het neutrino ieder een bijbehorend antideeltje, dat dezelfde massa heeft, maar alle ladingen tegengesteld. Deeltjes en antideeltjes kunnen elkaar (onder uitzending van straling) vernietigen.

De andere twee families (charm, strange, muon, neutrino muon, top, beauty, tau, neutrino tau) herhalen dit patroon: ze hebben andere (veel zwaardere) quarks, elektronen en neutrino’s dan de eerste familie, maar dezelfde krachtdragers (dat wil zeggen de gluonen, het foton en Z⁰, W⁺ en W^–) en ook hetzelfde higgsdeeltje. De quarks in de drie families zijn niet helemaal onafhankelijk van elkaar vanwege een kwantummechanisch effect genaamd mixing, en iets soortgelijks geldt voor de drie families neutrino’s. In het prille begin van de oerknal begon bij een temperatuur van 1 miljard K de kosmologische nucleosynthese: in ongeveer een kwartier is vrijwel alle waterstof en helium in het heelal gemaakt. De geloofwaardigheid van het oerknal scenario is geschraagd door de correcte voorspelling van de abundanties (oftewel de relatieve hoeveelheden) van deze elementen in het heelal, namelijk ongeveer 75 procent waterstof (H) en 25 procent helium-4 (dit zijn allerminst de abundanties op aarde, waar van nature nauwelijks helium is, maar wel die in sterren). Verder ging de kernfusie niet; cruciale tussenproducten op weg naar zwaardere elementen zijn instabiel, en mede gezien de snelle expansie van het heelal ontbrak eenvoudigweg de tijd om de rest van het periodiek systeem aan te maken. Dit gebeurde dan ook pas veel later in de evolutie van het heelal, en wel in sterren, waar de nucleosynthese niet een kwartier maar miljarden jaren de tijd heeft. Het tweede bewijs voor de oerknaltheorie is de voorspelling van de kosmische achtergrondstraling (CMB) met de juiste temperatuur van 2,7 K. Deze ontstond tussen ongeveer 370.00 jaar na de oerknal toen de temperatuur gedaald was tot 10.000 graden, en 490.000 jaar na de oerknal, toen het in het heelal nog maar 300 graden was. In die periode wisten fotonen te ontsnappen aan rest van de materie, waar ze tot dan toe voortdurend tegenaan botsten, en werd het heelal transparant voor licht (zoals ook nu nog). Dit heet het recombinatietijdperk, omdat protonen en elektronen zich samenvoegden tot waterstofatomen (en navenant voor helium). Aan de fotonen en hun verdeling over de ruimte veranderde daarna niets meer, behalve dat ze met de voortdurende expansie van het heelal afkoelden, zoals ook alle andere materie. Een simpele berekening, die gebruikmaakt van enige atoomfysica en de huidige leeftijd van het heelal (13,8 miljard jaar), leidt dan tot de huidige temperatuur van de achtergrondstraling.

Nucleosynthese

Binnen gaswolken van waterstof en helium ontstaan door verdere condensatie zogenaamde protosterren die nog niet schijnen, maar door verdere ineenstorting uiteindelijk een temperatuur bereiken waarbij kernfusie op gang komt. Deze primaire kernfusiereactie, de proton-protoncyclus, in sterren ziet er zo uit. Eerst komen twee protonen samen en versmelten tot een deuteriumkern, onder uitstoting van een positron

e + {\displaystyle e^{+}}

en een elektron-neutrino

ν e{\displaystyle \nu _{e}}

. Merk op dat een waterstofkern als enige chemische element geen neutron heeft; daarom is de atoommassa gelijk aan de massa van een proton. De deuteriumkern vangt nog een proton op en wordt daarbij omgezet in een helium-3-kern, onder uitzending van een foton (gammastraling). Twee helium-3-kernen fuseren uiteindelijk tot een helium-4-kern en twee protonen. De positronen worden samen met de elektronen geannihileerd onder uitzending van gammastraling (hoogenergetische fotonen ver buiten het spectrum van zichtbaar licht).

 

11H + 11H ⟶ 12H + e+ + νe + 0,42 MeV{\displaystyle \mathrm {^{1}_{1}H\ +\ _{1}^{1}H\ \longrightarrow \ _{1}^{2}H\ +\ e^{+}\ +\ \nu _{e}\ +\ 0,42\ MeV} }

12H + 11H ⟶ 23He + γ + 5,49 MeV{\displaystyle \mathrm {^{2}_{1}H\ +\ _{1}^{1}H\ \longrightarrow \ _{2}^{3}He\ +\ \gamma \ +\ 5,49\ MeV} }

23He + 23He ⟶ 24He + 2 11H + 12,86 MeV{\displaystyle \mathrm {^{3}_{2}He\ +\ _{2}^{3}He\ \longrightarrow \ _{2}^{4}He\ +\ 2\ _{1}^{1}H\ +\ 12,86\ MeV} }

Bij dit proces komt in totaal een energie vrij van 24,68 MeV, ofwel 4 × 10⁻¹² Joule. Deze energie komt deels vrij in de vorm van licht. De zwaardere elementen worden gevormd aan het einde van de levensduur van sterren. Oudere sterren bevatten in hun kern grote hoeveelheden helium als restproduct van de proton-protoncyclus en de CNO-cyclus. Reacties van deze heliumkernen met waterstof- of andere heliumkernen leiden respectievelijk tot lithium-5 en beryllium-8, die echter beide onstabiel zijn en snel weer vervallen.^[3] Wanneer echter de waterstof in de kern volledig is opgebruikt trekt de kern samen, waardoor de temperatuur stijgt tot circa 100 × 10⁶ K (8,6 keV). De productie van beryllium-8 versnelt dan zodanig dat het verval van dit nuclide naar helium-4 wordt gecompenseerd, zodat er steeds beryllium-8-kernen voorradig zijn om te fuseren met een helium-4-kern tot een stabiele koolstof-12-kern:

24He + 24He + 93,7 keV ⟶ 48Be{\displaystyle \mathrm {^{4}_{2}He\ +\ _{2}^{4}He\ +\ 93,7\ keV\ \longrightarrow \ _{4}^{8}Be} }

48Be + 24He ⟶ 612C + 2γ + 7,367 MeV{\displaystyle \mathrm {^{8}_{4}Be\ +\ _{2}^{4}He\ \longrightarrow \ _{6}^{12}C\ +\ 2\gamma \ +\ 7,367\ MeV} }

De netto-energie van deze fusiereeks bedraagt 7,275 MeV. De eerst reactie is endotherm (vereist energie), de tweede is exotherm (produceert energie). Het triple-alfaproces is, gezien het snelle verval van beryllium-8, een uitzonderlijk proces. Het is de reden waarom er geen koolstof werd geproduceerd tijdens de oerknal. Na slechts enkele minuten was de temperatuur van het prille heelal gezakt onder het niveau dat het triple-alfaproces vereist. Toevallig is het energieniveau van koolstof

6 12 C

vrijwel gelijk aan

4 8 B e   +   2 4 H e

waardoor het beryllium lang genoeg kan bestaan om de reactie aan te gaan tot koolstof. Deze zogenaamde resonantie is een mooi voorbeeld van finetuning van de kosmos in de zin dat de triple-alphareactie zou mislukken als het bewuste energieniveau ook maar iets zou verschillen van de werkelijke waarde. Als bijkomende reactie kan een hoeveelheid koolstof-12-kernen verder fuseren met helium-4-kernen tot stabiele zuurstof-16-kernen:

612C + 24He ⟶ 816O + 7,162 MeV{\displaystyle \mathrm {^{12}_{6}C\ +\ _{2}^{4}He\ \longrightarrow \ _{8}^{16}O\ +\ 7,162\ MeV} }

Terug naar de kosmologische constante die Einstein toevoegde aan de vergelijkingen om het heelal te beschrijven. Dit was nodig omdat het heelal inderdaad, zoals de formules zeiden, uitdijde, en bovendien versneld. Tegenwoordig staat de kosmologische constante λ voor donkere energie. Daarnaast is er het vermoeden van donkere materie in het heelal, waarvan de aanwezigheid een aantal observaties zou moeten verklaren. Donkere materie kan niet bestaan uit het de bekende deeltjes van het standaardmodel. Het straalt geen licht of energie uit. De fractie donkere energie is momenteel 70%. De fractie donkere materie bedraagt circa 25%. De fractie bekende materie is 5%.

Het perfecte evenwicht?

Is het toeval dat het heelal tot stand gekomen is op de huidige wijze? De kosmische achtergrondstraling (die tevens een maat is voor de daaraan gekoppelde materieverdeling geeft echter precies het omgekeerde beeld, namelijk van vrijwel perfecte uniformiteit. Hoe natuurlijk deze toestand op het eerste gezicht ook lijkt, vanuit de principes van de thermodynamica met zwaartekracht is ze dus juist extreem onverwacht. Het oerknal model geeft nog een voorbeeld van finetuning. het heelal is meetkundig gesproken vlak (terwijl het volgens de theorie van Einstein ook gekromd had kunnen zijn). Lichtstralen volgen in ons heelal rechte lijnen en niet, zoals op een bol, gesloten kromme lijnen, of op een hyperbool, oneindig lange gebogen lijnen. Ook dit blijkt een extreem instabiele conditie te zijn, met name bij een zo hoge leeftijd van het heelal als op dit moment. De reden voor deze instabiliteit is dat het vlakke geval uitsluitend optreedt als de totale materiedichtheid (het totaal van bekende materie, donkere materie en donkere energie) precies haar kritische waarde aanneemt en de verhouding tussen de materiedichtheid en de kritische waarde, ofwel Ω, dus exact gelijk is aan 1. We hebben al gezien waarom deze waarde kritisch is: als Ω in het verleden kleiner was geweest dan 1, zodat de materiedichtheid kleiner is dan de kritische waarde, dan was het heelal nu volledig uit elkaar gespat en hadden zich nooit sterren en melkwegstelsels gevormd, laat staan enige herkenbare vorm van leven. Als aan de andere kant Ω vroeger groter was geweest dan 1, zou het heelal al kort na de oerknal weer door de zwaartekracht zijn ingestort. We zitten precies tussen deze mogelijkheden in. De kans hierop wordt geschat als 1 op de 10⁵⁰. Heel klein dus.

Wanneer de massa’s van een up quark en een down quark meer dan zestig keer van elkaar zouden verschillen (dit is relatief weinig omdat de massa van een proton of neutron hoofdzakelijk bepaald wordt door de massa van het higgs deeltje), dan zouden de volgende rampen gebeuren:

• Als de down-quark minstens drie keer zo zwaar is als de up-quark, is het neutron ook in een kern (waar het nu overleeft) instabiel. Het enig mogelijke atoom is dan waterstof.
• Als daarentegen juist de up-quark (minstens zes keer) te zwaar wordt, zijn er slechts neutronen, die zich niet binden tot kernen. Er zijn dan dus helemaal geen atomen.
• Als de down-quark 70 keer zo zwaar is als nu, is niet het proton stabiel, maar een nu al bekend deeltje genaamd Δ++ = uuu bestaande uit drie up-quarks, met lading 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2 (keer de elektronlading die als eenheid wordt gebruikt). Dit is dan ook de enige atoomkern: zwaardere kernen kunnen niet ontstaan vanwege de twee keer zo grote elektrische afstoting in combinatie met de afwezigheid van neutronen als buffers: deze vervallen nu zelfs in een kern. Dit geeft precies één atoom, met twee elektronen. Op zich sluit dit een interessante chemie niet uit; denk aan de vele prachtige structuren die kinderen met de gelijkvormige houtblokjes Kapla kunnen maken. Het probleem is echter dat dit ene atoom zich gedraagt als helium en dus inert is. Er vormen zich dan dus geen chemische verbinden en daarmee geen moleculen, opnieuw een saai heelal zonder leven.
• Als juist de up-quark 130 keer zo zwaar is als nu, is de enige stabiele atoomkern ddd (die eveneens al bekend is, onder de naam A.). Deze kern heeft lading -1/3-1/3-1/3=-1, en kan met een positron een soort antiwaterstofatoom vormen. Ook nu vervalt het neutron en kunnen zich geen andere atomen vormen maar wel één molecuul, bestaande uit twee van deze atomen. Nog steeds te mager voor leven.

Er is dus maar een klein gebied, binnen zestig ordes van grootte, waarin de massaverhouding zich moet bevinden om een heelal als het onze te geven. Hoe zou de wereld eruit hebben gezien als de natuurwetten en/of de begincondities anders waren geweest dan ze nu zijn? Het brengt volgens Landsman filosofische vragen met zich mee. Gaat het om de mogelijkheid van enige vorm van leven, in de zin van zichzelf replicerende moleculen met een vorm van stofwisseling? Moet het leven dan noodzakelijk op de atomen H, C en O (en eventueel N) zijn gebaseerd? Is bewustzijn een belangrijk aspect van het universum waar het op af zou zijn gestemd? Naar de mening van Landsman is onvoldoende onderzocht welke vormen van leven zouden kunnen ontstaan als de kosmos zich ver buiten het parametergebied (de verhouding van de feitelijke materiedichtheid tot de kritieke dichtheid (Ω), de kosmologische constante (λ) en de grootte van de fluctuaties in de temperatuur (R) van de kosmologische achtergrondstraling) zou bevinden.

Entropie

De wetenschap van de thermodynamica kan in twee wetten worden vervat:

1. de energie van de wereld is constant
2. de entropie van de wereld streeft naar een maximum.

De toename van de entropie zette het fundamentele contrast tussen de fysica van Newton en de thermodynamica op scherp: de eerste is omkeerbaar, in de zin dat ieder fysisch proces (zoals de loop van een planeet) in principe ook in de omgekeerde richting kan plaatsvinden (waarbij alle snelheden in richting worden omgedraaid en formeel ook de tijd), terwijl in de thermodynamica naast omkeerbare ook onomkeerbare processen voorkomen. Denk aan het oplossen van melk in koffie, of hoge druk stoom omzetten in arbeid en warmte. Het omgekeerde proces is nog nooit gebeurd. Volgens Boltzmann is entropie een eigenschap van een macrotoestand en is de entropie daarvan niets anders dan (de logaritme van) het aantal microtoestanden dat met die macrotoestand correspondeert. Het idee is dat hoe meer onderliggende microtoestanden er zijn, hoe waarschijnlijker de gegeven macrotoestand is. Een evenwichtstoestand is dan per definitie een macrotoestand met het grootste aantal onderliggende microtoestanden en dus met maximale entropie. Het verband tussen entropie S (een macroscopische grootheid) en het aantal mogelijke microtoestanden W behorende bij een gegeven macrotoestand is:

S = k ln ⁡ W.  {\displaystyle \displaystyle S=k\ln W}  DeDe

De natuurconstante k_B = 1,380658(12) × 10⁻²³ J/K – de constante van Boltzmann – staat voor de koppeling tussen de macroscopische thermodynamische grootheid entropie S (ook wel gereduceerde warmte genoemd) in een evenwichtstoestand aan het aantal microscopische toestanden (dus rangschikkingen van moleculen) waarin een systeem kan verkeren.  Hieruit is te verklaren waarom een systeem dat uit evenwicht is, streeft naar maximale entropie en daarmee in evenwicht is: de evenwichtstoestand is de waarschijnlijkste toestand. Later werd deze natuurconstante door Nobelprijswinnaar Max Planck de Boltzmannconstante genoemd.

Kwantummechanica

Naar aanleiding van het werk aan de thermodynamica en de hiervoor benodigde statistiek, kwam Planck tot de conclusie dat de tweede wet van de thermodynamica niet alleen statistisch maar ook absoluut geldt: de entropie kan niet dalen, ook niet in zeer onwaarschijnlijke situaties. Om deze stelling wiskundig te kunnen bewijzen, moest Planck aannemen dat de energie alleen in kleine pakketjes kon bestaan. Dat deze kwantisatie echt was, bewees Einstein. Hiermee en met diverse andere ideeën legde Einstein de basis voor de kwantummechanica. Het was Bohr die het atoommodel postuleerde dat de stabiliteit van atomen en de discrete spectraallijnen die ieder atoom als een soort vingerafdruk kenmerken, verklaarde. Het atoommodel betrof drie postulaten:

• het idee van een grondtoestand, een stabiele toestand met de laagst mogelijke energie;
• de discretisatie van de mogelijke banen en de waarden van de energie van het atoom;
• de kwantumsprong waarmee elektronen naar een andere baan konden springen.

Einsteins eerdere hypothese dat licht uit kwanta (fotonen) bestond, zou dus perfect passen in het atoommodel van Bohr. Het was ook Einstein die als eerste een rol zag weggelegd voor toeval en kansrekening in de kwantumwereld, en wel in zijn theorie van gestimuleerde emissie uit 1916, die in de jaren vijftig de basis zou vormen voor de laser. Heisenberg en Schrödinger droegen in belangrijke mate bij aan de kwantummechanica door de ontwikkeling van de matrixmechanica en de golfmechanica. Verenigd in de kwantummechanica vervangt deze de klassieke mechanica op microscopische schaal. Een essentieel onderdeel is de toevalsinterpretatie van Born. In de kwantummechanica is een toestand een catalogus van de kansen op alle mogelijke uitkomsten van een bepaald fysisch proces – en niet meer een beschrijving wat de toestand is. Niet ‘wat is de toestand na de botsing?’ maar ‘hoe waarschijnlijk is een bepaalde uitkomst van de botsing?’ In de kansrekening is de kwantummechanica onovertroffen: bij veelvuldige herhaling van een experiment komen alle uitkomsten precies zo vaak voor als de kansen uit de kwantummechanica voorspellen. In de onderstaande grafiek zijn de uitkomsten afgebeeld van een worp van een munt waarbij de geblokte (zwarte) gebieden de uitkomst kop aangeven en de witte gebieden de uitkomst munt, uitgezet tegen de tijd op de horizontale as en de draaisnelheid op de verticale as.

Het schijnbare toeval in de uitkomst van de worp is een gevolg van ‘deterministische chaos’, ofwel zeer gevoelig voor de begincondities, die de uitkomst, hoewel in principe bepaald (deterministisch), praktisch onvoorspelbaar maken. In de kwantummechanica geldt een soortgelijk uitgangspunt: onvoorspelbaar maar met voorspelbare 50-50 kansen op de beide uitkomsten.

De Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica

De Kopenhaagse interpretatie is een interpretatie van de kwantummechanica die rond 1927 geformuleerd werd door Bohr en Heisenberg toen zij samenwerkten in Kopenhagen. Bohr en Heisenberg breidden de waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffunctie, zoals die door Born was opgesteld, uit. Met hun interpretaties trachtten zij een antwoord te geven op een aantal knellende vragen die waren ontstaan als het resultaat van de golf-deeltjesdualiteit in de kwantummechanica, zoals het meetprobleem in de kwantummechanica.

De Kopenhaagse interpretatie neemt aan dat er twee verschillende processen zijn die de golffunctie beïnvloeden:

• de unitaire ontwikkeling volgens de schrödingervergelijking;
• het proces van de meting.

Hoewel er geen dubbelzinnigheid bestaat over het eerste, staat het tweede verschillende interpretaties toe, zelfs binnen de Kopenhaagse interpretatie. Men kan de golffunctie zien óf als een reëel object vóór “ineenstorting” (collapse) van de golffunctie , óf als een wiskundig hulpmiddel zonder reële fysische eigenschappen, waarvan de enige fysische toepasbaarheid het berekenen van de waarschijnlijkheden is. Bohr benadrukte dat het alleen het resultaat van de meting is dat voorspeld zou moeten worden, en andere vragen daarom niet wetenschappelijk, maar eerder filosofisch van aard zijn. Bohr volgde daarmee het principe van het positivisme uit de filosofie dat stelde dat alleen meetbare vragen door wetenschappers moeten worden bestudeerd. De Kopenhaagse interpretatie is een spanningsveld tussen enerzijds een bepaalde vorm van bescheidenheid, waarbij we onze beperkingen als mens kennen en het daarmee moeten doen, en anderzijds de gedachte dat we door te experimenteren op beslissende wijze kunnen ingrijpen in de natuur, en deze mogelijk kunnen creëren door aan de natuur vragen te stellen.

Verstrengeling en de Bell ongelijkheid

Fotonparen worden geprepareerd in een speciale, verstrengelde toestand en vliegen vervolgens een diametraal tegengestelde richting op waarna de fotonen ieder aan een meting worden onderworpen. Er wordt bepaald of het foton door een polaroidglas heen vliegt of niet (een polaroidbril laat de helft van het invallende licht door en de andere helft wordt door glas geabsorbeerd).

Er zijn drie verschillende hoeken die de polarisaties van het glas kan hebben ten opzichte van een voorkeursas. Als deze hoek aan beide kanten hetzelfde is, zorgt de speciale verstrengeling ervoor dat elke van de beide fotonen van een gegeven paar hetzelfde antwoord geeft als aan beide kanten van het experiment precies dezelfde ‘vraag’ wordt gesteld. De hoek van het glas wordt pas gekozen als de fotonen te ver van elkaar verwijderd zijn om nog onderling signalen te kunnen uitwisselen. Beiden fotonen van het paar kiezen precies hetzelfde ‘antwoord’. In dit geval zijn er slechts twee mogelijkheden: beide fotonen worden doorgelaten, of beide worden niet doorgelaten. Volgens de kwantummechanica is de respons van het fotonenpaar zuiver toevallig. En toch komt er bij gelijke hoeken van het polaroid glas aan beide kanten hetzelfde resultaat uit. Professor Hanson heeft bewezen dat de verstrengeling, zoals de theorie suggereert, in praktijk echt bestaat, over een afstand van 1,3 km. Bell heeft in 1964 laten zien dat elke lokaal realistische theorie voldoet aan een criterium, de zogenaamde Bell ongelijkheid. Experimenten tonen aan dat quantummechanica niet aan dit criterium voldoet en dat de gevonden afwijkingen van de Bell ongelijkheid in volledige overeenstemming zijn met de voorspellingen van de quantummechanica. Bell heeft hierover een toets opgezet om de ongelijkheid aan te tonen (dus dat er geen sprake is van zuiver toeval). Dan geldt dat:

P ⁡ ( A B ¯ ) + P ⁡ ( B C ¯ ) ≥ P ⁡ ( A C ¯ )

P(AB) staat voor de kans dat een foton door filter A en niet door B wordt gelaten. Uit het experiment van Hanson blijkt dat deze ongelijkheid geschonden wordt. Deze gemeten kansen voldoen niet aan de ongelijkheid van Bell. Uit experimenten is gebleken dat de kwantummechanica de kansen correct voorspelt. Hieruit volgt dat de aanname die leidde tot de ongelijkheid van Bell, namelijk het bestaan van verborgen variabelen die van tevoren vastleggen hoe de fotonen zullen reageren als ze een filter tegenkomen, onjuist is.

Toeval in evolutiebiologie

Darwin stelde de evolutie in een naturalistische context, zonder betrokkenheid van een schepper. Door een samenspel van natuurlijke selectie, overerving en selectie via competitie vergroot een soort zijn overlevingskansen. Elk levend organisme bestaat uit lange chemische ketens met een specifieke samenstelling, de nucleïnezuren. Een nucleïnezuur is een soort ketting, waarvan de schakels nucleotiden heten. Deze bestaan elk echter weer uit twee met elkaar verbonden moleculen.

Een van die twee moleculen is voor alle nucleotiden hetzelfde, met uitzondering van een bepaald zuurstofatoom: als dat aanwezig is spreekt men van een RNA-nucleotide (Ribonucleïnezuur, de R van RNA), en bij afwezigheid van een DNA-nucleotide (Deoxyri-bonucleïnezuur, de D van DNA). DNA en RNA lijken chemisch dus zeer sterk op elkaar, maar worden nooit gemengd: de hele ketting is het een of het ander. Ze spelen ook een compleet verschillende rol in de cel: ruw gezegd wordt de erfelijke informatie door DNA opgeslagen en door RNA uitgelezen. Het andere molecuul in de schakel bevat de feitelijke erfelijke informatie. Er zijn voor zowel DNA als RNA vier mogelijkheden. Voor DNA worden deze afgekort met de letters A (adenine), C (cytosine), G (guanine) en T (thymine), terwijl voor RNA de letters A, C, G en U (uracil) worden gebruikt: de eerste drie varianten zijn dan ook letterlijk hetzelfde als bij DNA. ,

Hoe bepaalt de erfelijke informatie in het DNA hoe het organisme er vervolgens uit komt te zien? Met andere woorden: hoe leidt het bouwplan tot het gebouw? Wie zijn de bouwvakkers en hoe stuurt het DNA hen aan? Het antwoord is dat de rol van bouwvakkers wordt gespeeld door zogenaamde enzymen, dat wil zeggen verbindingen die optreden als katalysator bij de chemische reacties die zich in de cel afspelen (zij doen dit door dergelijke reacties enorm te versnellen). Het DNA bevat gecodeerde instructies voor de synthese van proteïnen. De genetische informatie stroomt van DNA naar RNA (transcriptie) en vervolgens van RNA naar proteïne (translatie).

Toch is DNA niet alleen bepalend; naast genetische informatie zijn er andere factoren die bepalen wat er in een cel gebeurt. Dus het principe ‘één genotype – één fenotype’ houdt niet stand. Er komt zoveel kijken bij de omzetting van RNA naar eiwit dat men zich afvraagt of het begrip ‘gen’ (een gedeelte van het DNA dat voor een bepaalde erfelijke eigenschap codeert) nog wel zinvol is. De mens heeft ongeveer 23.000 genen die 99,9% dezelfde zijn voor alle mensen. De gelijkenis met de chimpansee is 97%. Kleine organismen zoals een watervlo hebben 31.000 genen. Grootte zegt dus niet alles. De bron van biologische diversiteit lijkt dus niet alleen gedreven door het voor een eiwit coderende DNA (3% van het totale DNA) maar vermoedelijk door het niet-coderende DNA.

• In elke cel van het lichaam zit DNA, en dat is identiek in elke cel.
• Al het DNA zit op 46 chromosomen. Hiervan zijn er 23 van je vader en 23 van je moeder afkomstig.
• Een chromosoom is een lange streng DNA die op een bijzondere manier is opgerold.
• Als je al het DNA uit alle cellen van één persoon uitrolt en achter elkaar legt, dan kun je 500 keer naar de zon en terug.
• De treden van de wenteltrap bestaan uit basenparen. Een paar bestaat uit twee letters. Een G en een C gaan altijd samen en een A en een T gaan altijd samen.
• Het genoom van de mens bestaat uit drie miljard basenparen (NB: de Japanse Eenbes heeft 150 miljard basenparen).

Evolutie

Het draait om variatie in het DNA en replicatie van het DNA. Zonder variatie en overerving is er geen evolutie.

• Genetische drift: neutrale mutaties vinden plaats in de replicatie van het DNA. Dit zijn mutaties die in eerste instantie niet voor- of nadelig zijn voor het organisme en waar dus ook niet op wordt geselecteerd. De dragers van de winnende mutaties geven deze louter toevallig steeds aan volgende generaties door, terwijl dragers van alternatieve neutrale mutaties uitsterven. Sterker nog, er is op de lange duur altijd precies één variant van een neutraal gemuteerd gen dat het toevallig van alle andere versies wint; dit gen wordt ‘vastgezet’ door genetische drift. De bevolking zou in principe dus genetisch steeds homogener worden, ware het niet dat nieuwe mutaties toch altijd weer voor variatie zorgen.
• Genetische draft: ofwel het genetisch meeliften waardoor schadelijke allelen het van hun concurrenten winnen omdat ze toevallig worden gedragen door individuen die het om andere redenen goed doen. Zoals het feit dat de huidige blanke bevolking in Zuid-Afrika afstamt van een scheepslading Nederlanders die daar in 1652 aankwamen. De ziekte van Huntington komt bovengemiddeld vaak voor in Zuid-Afrika.

Het proces van overerving is de ultieme bron van variatie. Bioloog Eigen formuleerde:

Voor ieder succesvol organisme ligt het aantal kopieerfouten per replicatie van het genoom nét onder een kritiek aantal ( de 'error threshold'), waarboven nazaten van het organisme hun competitieve voordeel vanwege een overdaad aan mutaties verliezen.

De kritieke grootheid is het gemiddeld aantal kopieerfouten van het hele genoom per replicatie: A = P x L. L is de lengte van het genoom (# basenparen) en P is de kans op een kopieerfout per nucleotide. Een basenpaar bestaat uit twee nucleotiden. De factor A ligt bij mensen tussen 1/10 en 1. Bij bacteriën en gistcellen ligt A tussen 1/100 en 1/1000 en bij een RNA virus is dit tussen 1 en 10. Het genoom van een virus had dus niet groter kunnen zijn dan 10.000 basenparen omdat de kans op een replicatiefout veel groter is. Voor de mens leidt deze heuristiek tot een paradox in zijn evolutie: geen enzymen zonder lang genoom en geen lang genoom zonder enzymen.

Vrije wil en religie

Voor de essentie van de wil is het noodzakelijk dat deze niet vrij is. De vrije wil bestaat niet. Schoppenhauer zegt hierover:

Je kunt doen wat je wilt, maar je kunt op elk gegeven moment van je leven slechts één bepaald iets willen, en volstrekt niets anders dan dat ene.

Spinoza zegt:

De wil is niet meer dan een zekere modus van denken, net als het verstand: daarom kan elk wilsbesluit alleen bestaan en tot werken bepaald worden als het door een andere oorzaak wordt bepaald en die weer door een andere, enzovoort. De wil heeft dus een oorzaak nodig.

De wetenschap duidt de ontwikkeling van het leven door de evolutie in kaart te brengen en het mechanisme hiervoor te ontwaren. Kritiek vanuit de religie op de wetenschap is dat er een doelgerichtheid van een externe schepper is te zien in de natuur en de evolutie ervan. Het doet tekort aan deze wereld door van binnenuit (de wetenschap) te bewijzen dat de evolutie het gevolg is van mutaties, natuurlijke selectie en overerving. Met de onvolledigheidsstelling van Gödel in het achterhoofd kun je stellen dat de wetenschap niet haar eigen gelijk kan bewijzen. Landsman citeert Francois Jacob hierin:

Anders dan het publiek aanneemt is de geest van de wetenschap net zo belangrijk als haar product: het gaat evengoed om de ruimdenkendheid, het primaat van kritiek en het toegeven aan het onvoorziene, hoe storend en nieuw dat ook moge zijn. Het idee van een ultieme en onaantastbare waarheid, van een 'realiteit' die om de hoek op ons wacht om ontsluierd te worden, is al lang geleden door de wetenschap opgegeven. Wetenschappers weten inmiddels dat ze tevreden moeten zijn met het onvolledige en het tijdelijke. [ ... ] Niets is gevaarlijker dan de zekerheid dat men gelijk heeft. Niets is potentieel zo destructief als de obsessie met een als absoluut beschouwde waarheid. Alle misdaden in de geschiedenis waren het gevolg van een of ander soort fanatisme. Alle bloedbaden zijn uitgevoerd in naam van deugd, ware religie [ ... ] , kort gezegd, in naam van de strijd tegen de waarheid van iemand anders.

Het is dus inderdaad zo dat serieuze wetenschap nooit een knock-downargument tégen een religieuze overtuiging zal kunnen geven, maar zich hoogstens op plausibiliteit kan beroepen; als dát wordt bedoeld met de verwijzing naar de onvolledigheidsstelling van Gödel, dan is dat correct. Omgekeerd heeft een religie als het christendom juist vanwege haar waarheidsaanspraak de plicht zich als zodanig tegenover de wetenschap te rechtvaardigen, aangezien ook deze wel degelijk aan waarheidsvinding doet (zij het dus op een iets andere manier ).

‘Over toeval’ is een prachtig en beknopt geschreven boek van de auteur Landsman. Bovenstaande aanhalingen vind ik zelf de meest interessante. Wil je meer weten, koop en lees het boek.